Euclides
Los 5 axiomas:

  1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
  2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
  3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
  4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte.

Los 5 postulados:

  1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera (se puede trazar una y solo una recta que los une).
  2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta (prolongándose de manera continua en cualquier sentido).
  3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia (con centro en cualquier punto y de cualquier radio).
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí y por ende congruentes.

V.  Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos
… ó lo que es lo mismo: Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela

V postulado para geometría no-elíptica y no-hiperbólica

*   Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)

*   Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901)

*   Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos (Elementos, Libro I, Definiciones, 23)

Y otros dos postulados que por Euclides no fueron enunciados:

6.  Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos.

7.  Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, son congruentes.

no euclidianas en los extremos

Luego gaussianos y riemannianos hicieron de las suyas en complejidades superando a la geometría euclídeo-parabólica, la elíptica o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Gauss-Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).

Aunque hubieron que transcurrir 2.2 milenios para salirse de la falacia de intentar negar y contradecir tanto como afirmar el V postulado del sabio Euclides, y por tanto se tuvo que esperar un breve lapso temporal de 22 siglos para expandir la visión de una geometría plana a otra hiperbólica. El 5to postulado es muy claro: por un punto del plano -y sólo por ese punto y no otro- sólo se puede trazar una paralela y una sola, a una recta. Eso, hasta que irrumpe el ruso Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) y propone: que por un punto no contenido en una recta pueden trazarse al menos dos rectas paralelas a la recta dada. Las demostraciones del geómetra de la hipérbole fueron publicadas en Sobre los principios de la geometría del año 1829. En 1835 Lobachevsky escribe el artículo Geometría imaginaria y en 1840 se publica en Berlín Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (Nuevos Elementos de geometría con una teoría completa sobre paralelas). La publicación llegó a Gauss, quien vio amplificadas sus propias ideas; el maestro y genio matemático que había nacido en Brunswick en 1777 y se llamaba Johann Karl Friedrich Gauss. Gauss intuyó desde la curvatura terráquea lo que terminó de formalizarse como curvaturas del espacio-tiempo y geodésicas esferoidales (aunque el pionero de las mismas fuera en la Edad antigua Menelao). Ergo, las curvas en ciertos cuerpos u objetos topológicos son rectas que definen la masa, su gravedad y espacio-tiempo en la arquitectura cósmica. Euclides extasiado y agradecido de que fuesen capaces de lograr rebatirlo, no cualquiera.

La difusión de la nueva geometría llegó tras la muerte de Lobachevsky, llegó entre 1866 y 1870, para 1872 los matemáticos alemán Klein y noruego Lie profundizaron en propiedades invariantes por grupo de transformaciones al respecto, luego entre 1882 y 1887 el francés Poincaré hizo sus aportes. Finalmente, fue Albert Einstein en la Teoría General de la Relatividad quien demuestra que la estructura del universo es no euclidiana, no cualquiera.

¿Es Hermann Minkowski un euclidiano? Obviamente que sí, su geometría tiene curvatura nula. El problema inadvertido: Descartes, Leibniz, Kepler, Newton y Pascal fueron euclidianos. También lo fueron Laplace, Euler, Vivaldi, Bach, Mozart, los arquitectos góticos, renacentistas y barrocos; Maxwell, Planck, von Neumann, Lorentz y Bohr. Y lo seguimos siendo hoy día todos nosotros.

Anuncios